第3课 数据排序2

5、归并排序（Merge Sort）

归并排序（Merge Sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。 

5.1 算法描述

• 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
• 对这两个子序列分别采用归并排序；
• 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

5.2 动图演示

5.3 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 5e5 + 1;
int n;
int a[MAXN];

void merge(int arr[], int start, int mid, int end)
{
	int len = end - start + 1;
	int *tmp = new int[len];

	int ai = start;
	int bi = mid + 1;
	int ti = 0;

	while(ai <= mid && bi <=end) {
		if(arr[ai] <= arr[bi]) {
			tmp[ti++] = arr[ai++];
		} else {
			tmp[ti++] = arr[bi++];
		}
	}

	while(ai <= mid)
		tmp[ti++] = arr[ai++];

	while(bi <= end)
		tmp[ti++] = arr[bi++];

	for(int i = 0; i < len; i++) {
		arr[start + i] = tmp[i];
	}

	delete [] tmp;
}

void msort(int arr[], int start, int end)
{
	if(start >= end)
		return;

	int mid  = (start + end) / 2;

	msort(arr, start, mid);
	msort(arr, mid + 1, end);
	merge(arr, start, mid, end);
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}

	msort(a, 0, n-1);

	for(int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}

	return 0;
}

5.4 算法分析

归并排序是一种稳定的排序方法。和选择排序一样，归并排序的性能不受输入数据的影响，但表现比选择排序好的多，因为始终都是O(nlogn）的时间复杂度。代价是需要额外的内存空间。

6、快速排序（Quick Sort）

快速排序（Quick Sort）的基本思想：通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

6.1 算法描述

快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：

• 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
• 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
• 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

6.2 动图演示

6.3 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#define DEBUG
#ifdef DEBUG
#define debug(format, ...) printf("%d: "format, __LINE__, ##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(format, ...)
#endif

int n;
long long a[1000008];

void qsort(int start, int end)
{
	int mid = a[(start + end) / 2];
	int left = start, right = end;
	int tmp;

	if(left >= right)
		return;

	while(left <= right) {
		while(a[left] < mid)
			left++;
		while(a[right] > mid)
			right--;

		if(left <= right) {
			tmp = a[left];
			a[left] = a[right];
			a[right] = tmp;
			left++;
			right--;
		}
	}

	if(start < right)
		qsort(start, right);
	if(left < end)
		qsort(left, end);
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
	}

	qsort(0, n-1);

	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}

	return 0;
}

7、堆排序（Heapsort）

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

7.1 算法描述

• 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
• 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
• 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

7.2 动图演示

7.3 代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n;
int a[1000008];

void max_heapify(int arr[], int start, int end)
{
	int parent = start;
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child <= end)  {
		if (child + 1 <= end && arr[child] < arr[child + 1])
				child++;

		if (arr[parent] > arr[child])
			return;
		else {
			swap(arr[parent], arr[child]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
	}
}

void heap_sort(int arr[], int len)
{
	for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
		max_heapify(arr, i, len);

	for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
		swap(arr[0], arr[i]);
		max_heapify(arr, 0, i - 1);
	}
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}

	heap_sort(a, n);

	for(int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
}


8、计数排序（Counting Sort）

计数排序（Counting Sort）不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

8.1 算法描述

• 找出待排序的数组中最大和最小的元素；
• 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；
• 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；
• 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。

8.2 动图演示

8.3 代码实现

function countingSort(arr, maxValue) {
    varbucket =newArray(maxValue + 1),
        sortedIndex = 0;
        arrLen = arr.length,
        bucketLen = maxValue + 1;
 
    for(vari = 0; i < arrLen; i++) {
        if(!bucket[arr[i]]) {
            bucket[arr[i]] = 0;
        }
        bucket[arr[i]]++;
    }
 
    for(varj = 0; j < bucketLen; j++) {
        while(bucket[j] > 0) {
            arr[sortedIndex++] = j;
            bucket[j]--;
        }
    }
 
    returnarr;
}

8.4 算法分析

计数排序是一个稳定的排序算法。当输入的元素是 n 个 0到 k 之间的整数时，时间复杂度是O(n+k)，空间复杂度也是O(n+k)，其排序速度快于任何比较排序算法。当k不是很大并且序列比较集中时，计数排序是一个很有效的排序算法。

9、桶排序（Bucket Sort）

桶排序（Bucket Sort）是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

9.1 算法描述

• 设置一个定量的数组当作空桶；
• 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；
• 对每个不是空的桶进行排序；
• 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。 

9.2 图片演示

9.3 代码实现

function bucketSort(arr, bucketSize) {
    if(arr.length === 0) {
      returnarr;
    }
 
    vari;
    varminValue = arr[0];
    varmaxValue = arr[0];
    for(i = 1; i < arr.length; i++) {
      if(arr[i] < minValue) {
          minValue = arr[i];               // 输入数据的最小值
      }elseif(arr[i] > maxValue) {
          maxValue = arr[i];               // 输入数据的最大值
      }
    }
 
    // 桶的初始化
    varDEFAULT_BUCKET_SIZE = 5;           // 设置桶的默认数量为5
    bucketSize = bucketSize || DEFAULT_BUCKET_SIZE;
    varbucketCount = Math.floor((maxValue - minValue) / bucketSize) + 1;  
    varbuckets =newArray(bucketCount);
    for(i = 0; i < buckets.length; i++) {
        buckets[i] = [];
    }
 
    // 利用映射函数将数据分配到各个桶中
    for(i = 0; i < arr.length; i++) {
        buckets[Math.floor((arr[i] - minValue) / bucketSize)].push(arr[i]);
    }
 
    arr.length = 0;
    for(i = 0; i < buckets.length; i++) {
        insertionSort(buckets[i]);                     // 对每个桶进行排序，这里使用了插入排序
        for(varj = 0; j < buckets[i].length; j++) {
            arr.push(buckets[i][j]);                     
        }
    }
 
    returnarr;
}

9.4 算法分析

桶排序最好情况下使用线性时间O(n)，桶排序的时间复杂度，取决与对各个桶之间数据进行排序的时间复杂度，因为其它部分的时间复杂度都为O(n)。很显然，桶划分的越小，各个桶之间的数据越少，排序所用的时间也会越少。但相应的空间消耗就会增大。 

10、基数排序（Radix Sort）

基数排序（Radix Sort）是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

10.1 算法描述

• 取得数组中的最大数，并取得位数；
• arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；
• 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；

10.2 动图演示

10.3 代码实现

varcounter = [];
function radixSort(arr, maxDigit) {
    varmod = 10;
    vardev = 1;
    for(vari = 0; i < maxDigit; i++, dev *= 10, mod *= 10) {
        for(varj = 0; j < arr.length; j++) {
            varbucket = parseInt((arr[j] % mod) / dev);
            if(counter[bucket]==null) {
                counter[bucket] = [];
            }
            counter[bucket].push(arr[j]);
        }
        varpos = 0;
        for(varj = 0; j < counter.length; j++) {
            varvalue =null;
            if(counter[j]!=null) {
                while((value = counter[j].shift()) !=null) {
                      arr[pos++] = value;
                }
          }
        }
    }
    returnarr;
}

10.4 算法分析

基数排序基于分别排序，分别收集，所以是稳定的。但基数排序的性能比桶排序要略差，每一次关键字的桶分配都需要O(n)的时间复杂度，而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(n)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2n) ，当然d要远远小于n，因此基本上还是线性级别的。

基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中k为桶的数量。一般来说n>>k，因此额外空间需要大概n个左右。